Sabtu, 31 Desember 2011

Contoh Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari


Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya padapermainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang denganpelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menujujaringnya dengan lintasan bolanya berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuranlipatan talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya. Bagaimana memecahkan masalah, misalnya perhatikan contoh berikut ini :
Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanlah ukurannya agar terdapat kandang yang seluas-luasnya.
Penyelesaian:
Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangnya (400 – 2x) meter. Luas kandang dalam m2 adalah 
L = x (400 – 2x) = 400x – 2x2Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut :
L = 400x – 2x2
   = – 2x2 + 400x
   = - 2( x - 100 )2 + 20000
Agar luas kandang maksimum maka x – 100 = 0 atau x = 100. Sehingga untuk x =100 terdapat luas kandang maksimum L =20.000
Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m2 yang terjadi jika lebarnya 100 m
dan panjangnya 200 m.

Fungsi Trigonometri



Fungsi trigonometri didefinisikan pada pengertian-pengertian berikut.
􀂃 Untuk setiap x yang dipasangkan tepat satu dengan nilai sin x atau fungsi yang memetakan himpunan sudut x ke himpunan bilangan real sin x disebut fungsi sinus yang ditulis: f : x →sin x atau f (x) = sin x
􀂃 Untuk f yang memetakan x ke nilai cos x disebut fungsi cosinus yang ditulis: f : x →cos x atau f (x) = cos x
􀂃 Untuk f yang memetakan x ke nilai tan x disebut fungsi tangen yang ditulis: f : x → tan x atau f (x) = tan x
Fungsi trigonometri merupakan sebuah funsi periodik (berulang). Jika fungsi f(x) berlaku f(x) = f(x+p) untuk setiap x maka nilai positif terkecil dari p disebut periode.
fungsi f(x) tersebut :
1. Periode fungsi sin
Jika f (x) = sinx0 = sin(x+k.3600 ) dan dinyatakan sebagai f(x+p) dengan p= k. 3600 maka nilai positif terkecil dari p adalah 3600 utuk k =1. Jadi periode f (x)= sin x adalah 3600. artinya nilai f(x) akan berulang dan mempunyai nilai yang sama setiap bertambah 3600 atau 2π (dalam satuan radian)
2. Periode fungsi cos
Jika f (x) = cosx0 = cos(x+k.3600 ) dan dinyatakan sebagai f(x+p) dengan p=k. 3600 maka nilai positif terkecil dari p adalah 3600 utuk k =1. Jadi periode f (x)= cos x 19 adalah 3600. artinya nilai f(x) akan berulang dan mempunyai nilai yang sama setiap bertambah 3600 atau 2π (dalam satuan radian).
3. Periode fungsi tan
Jika f (x) = tanx0 = tan(x + k.1800 ) dan dinyatakan sebagai f(x+p) dengan p=k. 1800 maka nilai positif terkecil dari p adalah 1800 utuk k =1. Jadi periode f (x)= sin x adalah 1800. artinya nilai f(x) akan berulang dan mempunyai nilai yang sama setiap bertambah 1800 atau π (dalam satuan radian).

Jenis Fungsi


Dengan memperhatikan elemen-elemen pada domain dan kodomain yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal jenis fungsi sebagai berikut :

1). Injektif ( Satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif. apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen jika f(a) = f(a’)
berakibat a = a’


2). Surjektif (Onto)
Misalkan f suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) ⊂ B, fungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into ( ke dalam). Jika f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah
suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A onto B”


3). Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu pemetaan f: A→ B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif
dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan
B berada dalam korespondensi satu-satu”.


Jenis Fungsi ( fungsi khusus )


Beberapa Fungsi Khusus
Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain sebagai berikut.


Fungsi Konstan
Fungsi f : x→ C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f memetakan setiap bilangan real  dengan C. Grafik fungsi konstan y = f(x) dengan f(x) = c adalah garis lurus yang sejajar
sumbu X untuk c ≠ 0 dan berimpit dengan sumbu X jika c = 0

Fungsi Identitas
Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: I : x→ x disebut fungsi identitas
Grafik fungsi identitas y = x adalah garis lurus yang melalui O(0,0).

Fungsi Modulus
Nilai mutlak ( modulus) suatu bilangan real x didefinisikan sebagai :
|x| =   x jika x ≥ 0
       - x jika x < 0

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f : x → f(x) disebut fungsi genap jika f(−x) = f(x), dan
Fungsi f : x → f(x) disebut fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x), sedang fungsi yang tidak memenuhi salah satu dari pernyataan di atas dikatakan fungsi yang tidak genap maupun tidak ganjil.

Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar
Lambang [[ x ]] menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, sehingga :
[[ x ]] = b , jika b ≤ x < b + 1, b bilangan bulat, x∈R

Fungsi Linier
Fungsi f : R → R yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linier.

Fungsi Kuadrat
Fungsi f : R → R yang didefinisikan : f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

Fungsi Turunan
Fungsi f : R → R adalah suatu fungsi yang diketahui dan f‘ ditentukan oleh :
f (x) = lim f ( x + h ) - f (x) / h . Maka f disebut fungsi turunan








Pertidaksamaan Kuadrat


Semua pertidaksamaan yang ekuivalen dengan salah satu dari tiga bentuk pertidaksamaan berikut: ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, atau ax2 + bx + c ≠ 0, dengan a ≠ 0 disebut dengan pertidaksamaan kuadrat. Sebelum masuk ke pertidaksamaan kuadrat, siswa perlu diajak untuk mengingat kembali penyelesaian persamaan kuadrat, yang dalam pertidaksamaan kuadrat menjadi pembuat nol bentuk kuadratnya.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini langkah-langkahnya :
- Jadikan ruas kanan nol
- Uraikan bentuk itu atas faktor-faktor linear dan tentukan harga-harga nolnya (dengan menyelidiki, apakah diskriminan bentuk kuadratnya positif, nol atau negatif. Dan jika bentuk kuadratnya tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian bentuk linear, berarti bentuk kuadratnya tidak mempunyai pembuat nol, yaitu karena
D < 0 maka: jika D < 0 dan a < 0, maka bentuk kuadratnya definit negatif. jika D < 0 dan a > 0, maka bentuk kuadratnya definit positif
Jika D ≥ 0, faktorkan bentuk kuadratnya menjadi perkalian bentuk linear. Pembuat nol yaitu x1 dan x2 akan menjadi batas interval. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut diperoleh dari hasil perkalian komponennya yaitu (x – x1) dan (x – x2), dengan mengingat: hasil kali dua bilangan bukan nol adalah bilangan positif jika tandanya sama, dan bilangan negatif jika tandanya berbeda.
- Atau setelah harga nol itu dilukis pada garis bilangan, kemudian periksa dengan sebarang nilai misal nol untuk menetapkan tanda “ + “ atau “ – “
- Dapat juga penyelesaian persaman kuadrat didasarkan pada grafik fungsi kuadrat.

Grafik Fungsi Kuadrat



Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c, dengan
a,b,c ∈ R dan a ≠ 0. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik
balik minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik
balik maksimum.
Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
1. Tentukan pembuat nol fungsi → y = 0 atau f(x) = 0
Pembuat nol fungsi dari persamaan y = ax2 + bx + c diperoleh jika ax2 + bx + c=0.
Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi ax2 + bx + c = 0 Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong        dengan sumbu-x, sedangkan untuk menentukan titik potong dengan sumbu-y, dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai x tadi pada persamaan kuadrat semula.
2. Tentukan sumbu simetri x = −b/2a
3. Tentukan titik puncak P (x,y) dengan x = -b/2a dan y = D/-4a
4. Gambarlah sketsa grafiknya dengan melihat nilai a dan D

Pertidaksamaan linier

Suatu pertidaksamaan linear dalam variabel x dapat berbentuk ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0 atau 
ax + b ≥ 0, dengan a ≠ 0. Suatu bilangan a disebut lebih besar dari pada bilangan b jika a – b > 0 dan a disebut lebih kecil dari pada b jika a – b < 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan digunakan sifat-sifat bahwa:
- Ruas – ruas suatu pertidaksamaan boleh ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
- Ruas – ruas suatu pertidaksamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
- Jika ruas – ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaannya harus dibalik
- Jika a dan b bilangan positif dan a < b, maka a2 < b2

Persamaan Linier


Secara umum, persamaan linear adalah persamaan dengan derajat satu. Ini artinya semua suku pada persamaan tersebut yang memuat variabel pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah satu.
Contoh . a + 3 = 2 ; x + 5y = 7x – 1 ; p – 2q + 3r = 0
Dari fungsi linier f(x) = ax + b, dengan a , b konstan dan a ≠ 0, maka pembuat nol fungsi, yaitu ax + b = 0 merupakan persamaan linier dengan satu peubah atau variabel. Jadi persamaan linier dengan satu variabel x, mempunyai bentuk umum:
ax + b = 0 dengan a,b ∈ R; a ≠ 0

Penyelesaian persamaan linier: ax + b = 0 , a ≠ 0 adalah x = b/a
Nilai pengganti peubah pada persamaan-persamaan yang membuat persamaan itu benar
disebut penyelesaian atau akar persamaan
Untuk menyelesaikan persamaan digunakan sifat dasar bahwa :
Suatu persamaan tidak berubah himpunan penyelesaiannya, jika kedua ruas persamaan:
- ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
- dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, asal bukan nol

Persamaan , Pertidaksamaan Linier dan Grafiknya





Untuk menerangkan persamaan kepada siswa dapat diawali dengan permasalahan permasalaahn, misalnya: 1). Seseorang memiliki tiga ekor sapi perah yang menghasilkan susu yang sama banyaknya setiap hari. Bulan lalu setiap hari ia dapat menjual 4,5 liter susu dari ketiga sapinya. Berapa liter yang dihasilkan dari setiap ekor sapi perah itu? 2). Jika setiap sapi menghasilkan h liter susu, dan bulan ini setiap hari pak Budi dapat menjual 4,8 liter susu, tulislah kalimat terbuka yang berkaitan dengan jumlah susu yang dihasilkan dan banyak sapinya dan sebagainya. 
Sedangkan untuk menerangkan pertidaksamaan kepada siswa dapat diberikan permasalahan, misalnya: 1). Apa arti tulisan maksimum 60 km di tepi jalan? Jika kecepatan kendaraan di jalan itu v km/jam, nyatakan dalam bentuk pertidaksamaannya kecepatan kendaraan di jalan itu! 2). Sebuah iklan menawarkan pekerjaan sebagai SATPAM. Salah satu syaratnya, tinggi pelamar tidak kurang dari 160 cm. Nyatakan hal ini dalam bentuk pertidaksamaan dan sebagainya
Persamaan adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan “ sama dengan “ (“ = “) Sedangkan apabila menggunakan relasi “ < , > , ≤, atau ≥ “ dinamakan pertidaksamaan.




Barisan Aritmetika


Bagi Anda yang pernah naik taksi yang menggunakan argometer, pernahkah Anda
memperhatikan perubahan bilangan yang tercantum pada argometer? Apakah bilanganbilangan
itu berganti secara periodik dan apakah pergantiannya menuruti aturan tertentu?
Jika Anda memperhatikan mulai dari awal bilangan yang tercantum pada argometer dan
setiap perubahan yang terjadi, apa yang dapat Anda simpulkan dari barisan bilanganbilangan
tersebut?
Iwan mencari rumah temannya di Jalan Gambir no.55. Setelah sampai di Jalan
Gambir ia memperhatikan bahwa rumah-rumah yang terletak di sebelah kanan jalan adalah
rumah-rumah dengan nomor urut genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Dengan memperhatikan
keadaan itu, kearah manakah Iwan mencari rumah temannya?.
Perubahan bilangan-bilangan pada argometer taksi menuruti aturan tertentu. Setiap
dua bilangan yang berurutan mempunyai selisih yang tetap. Barisan bilangan yang seperti
itu disebut barisan aritmetika.
Demikian juga barisan nomor-nomor rumah di atas merupakan barisan bilangan
aritmetika. Barisan bilangan ini mempunyai selisih yang tetap antara dua suku yang
berurutan. Pada barisan 1, 3, 5, 7, …, suku pertama adalah 1, suku kedua adalah 3, dan
seterusnya. Selisih antara dua suku yang berurutan adalah 2. Barisan 2, 4, 6, 8, …, juga
mempunyai selisih dua suku yang berurutan selalu tetap yang besarnya 2.
b. Rumus suku Ke-n Barisan Aritmetika
Pada barisan aritmetika dengan bentuk umum u1, u2, u3, … dengan u1 adalah suku
pertama, u2 adalah suku ke-2, u3 adalah suku ke-3 dan seterusnya. Selisih antara dua suku
berurutan disebut juga beda dan diberi notasi b, sehingga b = u2 –u1 = u3 – u2 = u4 –u3=…=
un –un-1. Misalkan suku pertama u1 dinamakan a dan beda antara 2 suku berurutan adalah b,
maka: u1 =a
u2 –u1 = b ⇒ u2 = u1 + b = a + b = a + (2-1)b
u3 –u2 = b ⇒ u3 = u2 + b = a + 2b = a + (3-1)b
u4 –u3 = b ⇒ u4 = u3 + b = a + 3b = a + (4-1)b
u5 –u4 = b ⇒ u5 = u4 + b = a + 4b = a + (5-1)b

Dengan memperhatikan pola suku-suku di atas kita dapat menyimpulkan rumus
umum suku ke-n adalah:
un = a + (n−1)b dengan un = suku ke-n
a = suku pertama dan b = beda

Jumat, 30 Desember 2011

Hakikat Matematika


Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika.
Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.
Berdasarkan uraian di atas, agar supaya simbol itu berarti maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri disimbolkan. Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2), B(6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis X = 1 dan y = 2 titik B( 6, 9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis X = 6 dan y = 9. Hubungan–hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata.
Soedjadi (2000: 1) mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut:
a) Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik
b) Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi
c) Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.
d) Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.
e) Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logic
f) Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

Kiat Belajar Sukses

Belajar merupakan sesuatu yang menjadi kewajiban bagi semua siswa bahkan semua orang. Tanpa sadar ilmu itu kita peroleh bukan hanya berasal dari sekolah melainkan terdapat disekeliling kita. Masalahnya apakah pembelajaran yang dipaksakan akan menghasilkan ilmu yang bermanfaat. Hal ini sering banyak dialami oleh semua anak, karena belum adanya suatu kesadaran dari seorang anak untuk belajar. Tapi yang menjadi kesalahan yang paling utama adalah sikap Orang tua itu sendiri yang memakasa anaknya untuk belajar. Mengapa? Karena suatu paksaan akan memberikan dampak ketidaksenangan dalu terhadap apa yang dipaksakan, akibatnya anak akan tidak maksimal dalam menagnggapi ilmu pengetahuan tsb. Untuk menghadapi hal semacam ini
1.      Seharusnya para orang tua tidak perlu memaksakan kehendaknya tetapi memberikan motivasi yang mendukung anak melakukan apa yang diingikan oleh orang tua,
2.      Membuat suasana hati anak gembira dulu, dan jangan sekali – kali membuat hati anak tertekan dulu karena itu sangat besar efek dalam penyerapan materi pelajaran.
3.      Membiasakan berdoa sebelum belajar dan makan sebelum belajar.
4.      Apabila saat belajar, anak itu merasa pusing berhentilah sejenak dalam hal ini kegiatan yang dapat dilakukan misalnya sholat sunnah, bermain game ketangkasan, sharing dll.
Semoga apa yang saya ulaskan memberkan sedikt masukan bagi para orang tua dalam menyiapkan anak yang rajin, pintar dan soleh ataupun solekhah. Apabila ada yang kurang saya mohon maaf. Dan apabila ada yang berkenan memberikan masukan saya mengucapkan banyak terima kasih. 

Selamat datang

Welcome